Question

已知向量与向量的对应关系可用表示．
（1）设，求向量的坐标；
（2）证明：对于任意向量及常数m、n，恒有成立；
（3）求使成立的向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用题中的对应关系求出 f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2） 设出任意向量的坐标，分别计算要证等式的左边的右边，比较计算结果可得等式成立．
（3）设 =（x，y），则 f（）=（y，2y-x），∴，解方程可求向量的坐标．
解答：解：（1）f（ ）=（1，2-1）=（1，1），f（）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴．
（2）设，∴m+n=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m+n ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（）+nf（）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴对于任意向量及常数m、n，成立．
（3）设 =（x，y），则 f（）=（y，2y-x），∴，
∴x=1，y=3，∴．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，以及用待定系数法求向量的坐标．