Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；
（1）求实数a、b的值；
（2）若不等式 对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；
（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中xi﹣1＜xi＜xi+1 ， 若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（xn﹣1）﹣m（xn）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，

∵a＞0，对称轴x=1，

∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，

又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，

∴ ，

解得：a=1，b=0．

∴g（x）=x2﹣2x+1

故实数a的值为1，b的值为0．

（2）解：由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，

∵f（x）=g（|x|），

∴f（x）=x2﹣2|x|+1，

∵ 对任意x∈R恒成立，

令F（x）=f（x）+g（x）=x2﹣2x+1+x2﹣2|x|+1=

根据二次函数的图象及性质可得F（x）min=f（1）=0

则F（x）min≥ 恒成立，即： ≤0

令log2k=t，

则有：t2﹣2t﹣3≤0，

解得：﹣1≤t≤3，

即 ，

得：

故得实数k的范围为

（3）解：函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．

因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=3

有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜…＜f（xI）＜…＜f（xn）=f（3）

所以 |m（xi）﹣m（xi﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）＜…＜f（xn）﹣f（xn﹣1）

=f（xn）﹣f（x0）=f（3）﹣f（1）=4恒成立，

所以存在常数M，使得 |m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是恒成立．

M的最小值为4，即Mmin=4

【解析】（1）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（2）求出f（x）， 对任意x∈R恒成立等价于F（x）min=f（x）+g（x）恒成立，求实数k的范围；根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断 |m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是否恒成立，进而得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．