Question

【题目】如图，点、，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线.且直线交曲线于两点（点在轴的上方）.

（1）求曲线的方程；

（2）试判断直线与曲线的另一交点是否与点关于轴对称？

Answer 1

【答案】（1）；（2）是.

【解析】

（1）如图所示，，点Q的轨迹表示的曲线为椭圆，M，N为焦点，由此可求方程；

（2）设，，将直线方程与椭圆方程联立化为：，假设点C与点B关于x轴对称，则.下面证明D，A, C三点共线.即证明：, 即证明：利用根与系数的关系证明: 0即可.

（1）如图所示，

有

∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，设其方程为

则,

∴，∴；

（2）联立得

设，

恒成立，，

假设与关于轴对称，则，下证三点共线

即证，即证

∵，

∴

∴与共线，

∴与的另一交点与关于轴对称