Question

(理)已知函数f(x)=()²(x＞0).

(1)判断f(x)的单调性,并证明你的结论;

(2)求f(x)的反函数f^-1(x);

(3)若关于x的不等式(x-1)f^-1(x)＞a(a-)在x∈［3,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

答案：(理)解:(1)∵f(x)=(1+)²=1++,f′(x)==-2(+),

当x＞0时,f′(x)＜0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

(2)令y=()²,∵x＞0,＞0,∴==1+.

∴=,x=.∴f^-1(x)=(x＞1).

(3)由(x-1)＞a()在［3,+∞)上恒成立,即,也即＜0要在x∈［3,+∞)上恒成立.

(a+1)(a--1)＜0在［3,+∞)上恒成立,

亦即-1＜a＜+1在x∈［3,+∞)上恒成立.

由于+1在［3,+∞)上是单调递增函数.∴+1在［3,+∞)上有最小值+1.

从而实数a的取值范围是-1＜a＜+1.