Question

在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形.

Answer 1

思路解析:由内角成等差数列及内角和为π这一隐含条件可得一个内角;再利用边成等比数列可得三边之间的关系,将边和角的关系统一起来就可以找到解题思路.

解:由A、B、C成等差数列,有2B=A+C.又因为A、B、C为三内角,

则A+B+C=π,所以B=.

由a、b、c成等比数列,有b²=ac.

由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac.∴有a²+c²-ac=ac,

即(a-c)²=0,∴a=c.从而有A=C,∴A=B=C=.

∴△ABC为等边三角形.

方法归纳  注意此处空半格解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.