Question

【题目】已知函数．

（1）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；

（2）若只有一个零点，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或

【解析】

（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，切线方程，可令，求得，再由二次函数的最值求法，可得所求；

（2）若只有一个零点，且，可得，按，，分类讨论的单调性，得的极小值都大于，解不等式可得所求范围．

（1）的导数为，

在点处的切线斜率为，且，

所以切线方程为

令，得，

由，可得在上递增，可得的最小值为；

（2）因为，令，可得或，

当时，在，上递增，在上递减，

且，，若只有一个零点，且，

则，解得，所以；

当时，在，上递增，在上递减，且，

若只有一个零点，且，则，或，解得或；

当时，，得在上递增，且，

所以只有一个零点，且，满足题意.

综上：，或.