Question

若△ABC三边成等差数列，则B的范围是

 

；若△ABC三边成等比数列，则B的范围是

 

．

Answer 1

分析：设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围；当三边成等比数列时，利用等比数列的性质得到b的平方等于ac的积，同理利用余弦定理表示出cosB，把求出的关系式代入后，利用基本不等式即可得到cosB的最小值，根据B的范围，且根据余弦函数在此范围为减函数，即可得到B的范围．

解答：解：设三角形的三边分别为a，b，c，
由三边成等差数列可知：b=

a+c

2

，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
当且仅当a=c时取等号，
又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，

π

3

]；
由三边成等比数列可知：b²=ac，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
同理可得B∈（0，

π

3

]．
故答案为：（0，

π

3

]；（0，

π

3

]．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象与性质，灵活运用基本不等式求函数的最大值，是一道综合题．