Question

在圆x²+y²=5x内，过点(

5

2

，

3

2

)有n（n∈N^*）条弦，它们的长构成等差数列，若a₁为过该点的最短弦的长，a_n为过该点的最长弦的长，公差d∈(

1

5

，

1

3

)，那么n的值是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根据圆的性质可得过点(

5

2

，

3

2

)的最短弦即为与圆心和此点的连线垂直的弦并且这个弦长可由勾股定理求出，而过点(

5

2

，

3

2

)的最长弦即为圆的直径，然后再结合等差数列的通项公式和公差的范围求出n的范围即可得解．

解答：解：∵x²+y²=5x
∴(x-

5

2

)2+y2=

25

4

∴过点(

5

2

，

3

2

)的最短弦即为与圆心和此点的连线垂直的弦有勾股定理可得a₁=2

( 5 2 )2- ( 3 2 )2

=4
过点(

5

2

，

3

2

)的最长弦即为圆的直径即a_n=5
∴a_n=a₁+（n-1）d
∴d=

1

n-1

∵d∈( 

1

5

，

1

3

)
∴

1

5

＜

1

n-1

＜

1

3

∴4＜n＜6
∵n∈N₊
∴n=5
故选D

点评：此题主要是对数列与圆的综合问题的考查．解题的关键是要分析出最短和最长的弦长然后利用等差数列的通项公式再结合公差d的范围求出n的值！