Question

某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)

Answer 1

解：在△AOB中,设OA=a,OB=b.

    因为AO为正西方向,OB为东北方向,

    所以∠AOB=135°.

    则|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+ab≥2ab+ab=(2+)ab,当且仅当a=b时,“=”成立.又O到AB的距离为10,设∠OAB=α,则∠OBA=45°-α.所以

    a=,b=,

    ab=·=

    =

    =

    =≥,

    当且仅当α=22°30′时,“=”成立.

    所以|AB|²≥=400(+1)²,

    当且仅当a=b,α=22°30′时,“=”成立.

    所以当a=b==10时,|AB|最短,其最短距离为20(+1),即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处,能使|AB|最短,最短距离为20(-1).