Question

【题目】（题文）已知函数.

（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域为，，

要使在区间上单调递增，只需，即

在上恒成立即可，

易知在上单调递增，所以只需即可，

易知当时，取最小值，，

∴实数的取值范围是.

（2）不等式即，

令，

则，在上单调递增，

而，

∴存在实数，使得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，∴.

，画出函数和的大致图象如下，

的图象是过定点的直线，

由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，

而，∴．

∵，∴．

于是实数的取值范围是．