Question

已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求证：a⊥α。

Answer 1

解析:

此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。

证法1:如图2－57：在α内取一点P，作PA⊥β于A，PB⊥γ于B，

则PA⊥a，PB⊥a，又PAα，PBα，PA∩PB＝P，∴ a⊥α。

证法2：如图2－58，在a上任取一点Q，作QC ⊥α于C，∵β∩γ＝a，∴Q∈β，

又β⊥α，∴QCβ，同理可证QCγ，∴QC为β与γ的交线a，∴ a⊥α。

证法3：如图2－59，在a上取点R，在β内作RD垂直于α、β的交线l于D，

∴RD⊥α，同法在γ内，作RE垂直于α，交α与γ的交线m于E，则RE⊥α，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，∴RD、RE重合，则它既包含于β，又包含于γ，

∴ a⊥α。

证法4：如图2－60，在β、γ内分别取M、N分别作α、β的交线l和α、γ的交线m的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α，c//d，c//a，∴ a⊥α。

点评: 此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的。