Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；

（Ⅱ）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由导函数研究函数的切线，求得函数在点 处的切线斜率为 ，据此可得切线方程为；

(Ⅱ)利用题意构造函数 ，结合(I)的结论和导函数与原函数的关系即可证得结论.

试题解析：

（Ⅰ）

设切点为，则切线的斜率为

点在上，

，解得

切线的斜率为，切线方程为

（Ⅱ）

当时，即时，在上单调递增；

当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.

当时，有两个极值点，即，

，由得，

由

，即证明

即证明

构造函数，

在上单调递增，

又，所以在时恒成立，即成立

.