Question

（2012•德阳三模）已知数列{a_n}满足an+1=2an+2n+1-1，a1=5．
（1）是否存在实数λ，使数列{

an+λ

2n

}为等差数列？并说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

5

．

Answer 1

分析：（1）假设存在一个实数λ符合题意，则

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

必为与n无关的常数，由此可求实数λ的值；
（2）由（1）知，数列{

an-1

2n

}为首项为2，公差为1的等差数列，从而可得数列{a_n}的通项，利用错位相减法可求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

≥n+2，从而可得S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，取倒数，放缩再裂项求和，即可证得结论．

解答：（1）解：假设存在一个实数λ符合题意，则

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

必为与n无关的常数
∵

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

=1-

1+λ

2n+1

要使

an+1+λ

2n+1

-

an+λ

2n

是与n无关的常数，则1+λ=0，∴λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列；
（2）解：由（1）知，数列{

an-1

2n

}为首项为2，公差为1的等差数列
∴

an-1

2n

=n+1，∴an=(n+1)×2n+1
∴Sn=2×2+3×22+…+(n+1)×2n+n
令Tn=2×2+3×22+…+(n+1)×2n①
∴2Tn=2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1②
②-①可得Tn=-(2×2+22+…+2n)+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-

2(1-2n)

1-2

+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n
（3）证明：当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

≥n+2
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹+n≥2n（n+2）+2=2（n+1）²，
∴

1

Sn

≤

1

2(n+1)2

≤

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

=

2

5

-

1

2n+3

＜

2

5

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

5

点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和是关键．