Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上两点，是坐标原点，且，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过作两条相互垂直的直线分别交椭圆于和，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）[].

【解析】

试题（1）根据椭圆几何性质以及定义得a，再根据离心率得c，解得b，（2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得；再根据分式函数求值域，即得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）连接，由知直线过原点，根据椭圆的对称性知，

由椭圆的定义知，∴，

由题知，∴，∴，

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）①当直线有一条斜率不存在时，．

②当斜率存在且不为0时，设方程为，.

联立方程，得，消去整理得．

．

= =．

把代入上式，得，

，

设，，，

设=，，

令，则，=（），

∴，∴，

．

综上，的取值范围是[].