Question

一位射击选手以往1000发子弹的射击结果统计如下表：

环数	10	9	8	7	6	5
频数	250	350	200	130	50	20

假设所打环数只取整数，试根据以上统计数据估算：
（1）设该选手一次射击打出的环数为ξ，求P（ξ≥7.5），Eξ；
（2）他射击5次至多有三次不小于8环的概率；
（3）在一次比赛中，该选手的发挥超出了按上表统计的平均水平．若已知他在10次射击中，每一次的环数都不小于6，且其中有6环、8环各1个，2个7环，试确定该选手在这次比赛中至少打出了多少个10环．

Answer 1

解：（1）ξ 的分布列为：

ξ	10	9	8	7	6	5
P	0.25	0.35	0.20	0.13	0.05	0.02

∴P（ξ≥7.5）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=0.20+0.35+0.25=0.8．
∴Eξ=10×0.25+9×0.35+8×0.20+7×0.13+6×0.05+5×0.02
=8.56．
（2）他射击5次至多有三次不小于8环的对立事件是有4次不小于8环的有5次不小于8环，
∵有4次不小于8环的概率是：P₅（4）=C₅⁴•0.8⁴•0.2=0.4096，
有5次不小于8环的概率是：P₅（5）=C₅⁵（0.8）⁵=0.32768，
故他射击5次至多有三次不小于8环的概率为：
1-0.4096-0.32768=0.26272．
（3）设这次比赛中该选手打出了m个9环，n个10环，则依此次比赛的结果该选手所打出的环数η的分布列为：

η	10	9	8	7	6
P			0.1	0.2	0.1

Eη=n++2.8，
∵Eη＞Eξ，
∴n+＞5.76，
∵m+n=6，
∴n＞3.6．
故在此次比赛中该选手至少打出了4个10环．
分析：（1）根据题设条件先再由ξ 的分布列，由此能求出P（ξ≥7.5）和Eξ．
（2）由P₅（4）=C₅⁴•0.8⁴•0.2=0.4096，P₅（5）=C₅⁵（0.8）⁵=0.32768，能求出他射击5次至多有三次不小于8环的概率．
（3）设这次比赛中该选手打出了m个9环，n个10环，则依此次比赛的结果能求出该选手所打出的环数η的分布列，由此能求出该选手在这次比赛中至少打出了多少个10环．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．本题对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．