Question

【题目】已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x． ①讨论f（x）的单调性；
②设a＞0，证明：当0＜x＜ 时， ；
③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0 ， 证明f′（x0）＜0．

Answer 1

【答案】解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f'（x）= ﹣2ax+（2﹣a）=﹣ ，
（i）当a＞0时，则由f'（x）=0，得x= ，
当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，当x∈（ ，+∞）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+∞）上单调递减；
（ii）当a≤0时，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
②设函数g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），
则g（x）=[ln（ +x）﹣a（ +x）2+（2﹣a）（ +x）]﹣[ln（ ﹣x）﹣a（ ﹣x）2+（2﹣a）（ ﹣x）]=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g'（x）= + ﹣2a= ，
当x∈（0， ）时，g'（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，
故当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
③由①可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（ ），且f（ ）＞0，
不妨设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），0＜x1＜x2 ， 则0＜x1＜ ＜x2 ，
由②得，f（ ﹣x1）=f（ ﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，
又f（x）在（ ，+∞）上单调递减，
∴ ﹣x1＜x2 ， 于是x0= ＞ ，
由①知，f'（ x0）＜0
【解析】①求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a＞0，a≤0两种情况解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函数的单调区间；②设函数g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），只需证明g（x）＞0即可，进而转化为利用导数求函数的最值；③由①易判断a≤0时不满足条件，只需考虑a＞0时情形，由①可得f（x）的最大值为f（ ），且f（ ）＞0，设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），0＜x1＜x2 ， 则0＜x1＜ ＜x2 ， 由②可推得f（ ﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，借助函数单调性可得结论；
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．