Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数的图象为曲线C₁，曲线C₁与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（Ⅱ）令函数的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x，y∈N^*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

【答案】分析：（I）把函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））代入已知的新定义，根据对数的运算法则化简，得到f（x）的解析式，把x=0代入f（x）的解析式即可求出m的值，求出f（x）的导函数，把x=n代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，然后用切点坐标表示出斜率，两者相等列出n与t的关系式，把切点坐标代入f（x）得到另一个关于n与t的关系式，两者联立即可求出n与t的值，确定出点B的坐标，然后利用定积分的方法即可求出曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S；
（II）利用题中的定义确定出g（x）的解析式，求出g（x）的导函数，把x=x代入导函数求出的导函数值即为-8，列出一个关系式，记作（1），把-4＜x＜-1记作（2），由log₂（x³+ax²+bx+1）大于0，把x=x代入得到一个不等式，记作（3），由（1）解出b，代入（3）得到一个不等式与（2）联立，把（2）中的两个端点代入不等式中即可得到a的取值范围．
（III）令函数h（x）=，求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证．
解答：解：（Ⅰ）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴，
故A（0，9），…（1分）
又过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t） （n＞0），f'（x）=2x-4．  
∴，
解得B（ 3，6 ），…（2分）
∴．       …（4分）
（Ⅱ），
设曲线C₂在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在实数b使得有解，…（6分）
由（1）得，代入（3）得，…（7分）
∴由有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10．                                               …（9分）
（Ⅲ）令，由，…（10分）
又令，
∴，
∵p（x）在[0，+∞）连续∴p（x）在[0，+∞）单调递减，…（12分）
∴当x＞0时有，p（x）＜p（0）=0，
∴当x≥1时有，h'（x）＜0，
∴h（x）在[1，+∞）单调递减，…（13分）
∴1≤x＜y时，有，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴当x，y∈N^*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．                …（14分）
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用定积分求曲线围成的面积，会根据导函数的正负确定函数的单调性，是一道中档题．