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    如图①，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，∠ABC=90°，异面直线A1B与AC成60°的角，点O、E分别是棱AC和BB1的中点，点F是棱B1C1上的动点．
    （Ⅰ）求异面直线A1E与OF所角的大小；
    （Ⅱ）求二面角B1-A1C-C1的大小；
    （Ⅲ）设O1为A1C1的中点，如图②，将此直三棱柱ABC-A1B1C1绕直线O1O旋转一周，线段BC1旋转后所得图形所得必定是
     
    ．（只需填上你认为正确的选项，不必证明）
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    分析：（I）以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出棱锥的高，根据异面直线A1B与AC成60°的角，写出两条异面直线的夹角，求出高，再求出异面直线所成的角．
    （II）根据建立的坐标系，看出平面的一个法向量，设出另一个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出一个法向量，根据两个向量的夹角做出二面角的值．
    （III）将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2．在旋转过程中，线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变，设BC1的中点为M，OO1的中点为O2，则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段，建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上，并设正方体边长为2，MN=t，PN=d．做出结果
    解答：解：如图1，以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）
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    （Ⅰ）设棱锥的高为h，则A1（2，0，h），C（0，2，0），
    CA
    =(2，-2，0)    ．
    ∴cos＜?
    BA1
    ，
    CA
    ＞=
    BA1
    •
    CA
    |
    BA1
    |•|
    CA
    |
    ，
    即cos60°=
    4
    2
    		2
    •
    		4+h2
    ，解得h=2．
    ∴E（0，0，1），A1（202），
    A1E
    =(-2，0，-1)    ．
    ∵F为棱B1C1上的动点，故可设f（0，y，2）．
    ∴
    OF
    =(-1，y-1，2)    ．
    又
    A1E
    •
    OF
    =(-2，0，-1)•(-1，y-1，2)=0
    ∴
    A1E
    ⊥
    OF
    ，即异面直线A1E与OF成角为90°
    （Ⅱ）易知平面A1CC1的一个法向量为
    BO
    =（1，1，0），设平面A1B1C的一个法向量为
    n
    =（x，y，1），则
    n
    =(x，y，1)
    n
    •
    A1C
    =（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①
    n
    •
    A1C
    =（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
    由①、②，得
    n
    =(0，1，1．)    ．
    ∴cos＜
    n
    ，
    BO
    ＞=
    n
    •
    BO
    |
    n
    |•|
    BO
    |
    =
    1
    		2
    •
    		2
    =
    1
    2
    ，
    ∴＜
    n
    ，
    BO
    ＞=60°．
    即二面角B1-A1C-C1的大小为60°．
    （Ⅲ）将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2．在旋转过程中，线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变，
    设BC1的中点为M，OO1的中点为O2，则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段．
    设N是线段BC1上任意一点，N在轴OO1上的射影为P．
    以正方体的中心O2，主点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上，并设正方体边长为2，MN=t，PN=d．
    ∵＜
    OO1
    ，
    BC1
    ＞=45°，
    ∴N(-
    		2
    2
    t，1，
    		2
    2
    t)，P(O，O，
    		2
    2
    t)    ．
    在Rt△OPN中，由O2P2+PN2=O2N2，得
    d2+
    1
    2
    t2=
    1
    2
    t2+1+
    1
    2
    t2    ，∴d2-
    t2
    2
    =1    ．
    即d与t之间满足双曲线关系，故选D．
    点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA1=4．
    （1）求证：CF⊥平面ABB1；
    （2）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；
    （3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°，若存在，求CE
    的长，若不存在，请说明理由．

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    （2013•渭南二模）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC=BC=2，AA1=4．
    （1）当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；
    （2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中点．
    （Ⅰ）求异面直线AB和C1D所成的角（用反三角函数表示）；
    （Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=a.

    (1)求证:AB1∥平面BC1D;

    (2)求异面直线AB1与BC1所成的角;

    (3)求点A到平面BC1D的距离.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示在直三棱柱中ABC—A′B′C′中，AB=AC=AA′=1,∠BAC=90°，则A′C与BC′所成的角的大小为(    )

    A.                 B.                C.                  D.

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