Question

已知

i

，

j

为互相垂直的单位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

与

b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  1

  2

  ）
• B、（-2，

  2

  3

  ）∪（

  2

  3

  ，+∞）
• C、（-∞，-2）∪（-2，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由已知中

i

，

j

为互相垂直的单位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，我们可以计算出

a

•

b

，再由

a

与

b

的夹角为锐角，可以构造关于λ的不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：∵

i

，

j

为互相垂直的单位向量，
∴

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0
又∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，
∴

a

•

b

=（

i

-2

j

）•（

i

+λ

j

）+1-2λ，
若

a

与

b

的夹角为锐角，
则1-2λ＞0，故λ＜

1

2

但当λ=-2时，

a

=

b

=

i

-2

j

，此时

a

与

b

的夹角为0
故实数λ的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，

1

2

）
故选C

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据

a

与

b

的夹角为锐角，数量积大于0，构造关于λ的不等式组，是解答的关键，但本题易忽略λ=-2时，

a

=

b

=

i

-2

j

，此时

a

与

b

的夹角为0，而错选A．