Question

已知函数，，其中且．
(Ⅰ)当，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)若时，函数有极值，求函数图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数 （是自然对数的底数），是否存在a使在上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)单调增区间是，；(II);（III）

解析试题分析：(Ⅰ) 为确定函数的单调区间，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.
(Ⅱ)为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.
本小题根据函数有极值，建立的方程，求得，从而得到.根据的图象可由的图象向下平移16个单位长度得到，而的图象关于（0，0）对称，
得到函数的图象的对称中心坐标.
（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，通过讨论导函数为负数，得到的不等式，达到解题目的.
试题解析：(Ⅰ) 当，
，       1分
设，即，
所以，或，       2分
单调增区间是，；       4分
(Ⅱ)当时，函数有极值，
所以，       5分
且，即，       6分
所以，
的图象可由的图象向下平移16个单位长度得到，而的图象关于（0，0）对称，       7分
所以函数的图象的对称中心坐标为；       8分
（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，
，
        9分
当在上为减函数，则在上为减函数，在上为减函数，且，则．       10分
由（Ⅰ）知当时，的单调减区间是，
(1)当时，，在定义域上为增函数，
不合题意；       11分
(2)当时，由得：，在上为增函数，则在上也为增函数，也不合题意；       12分
(3)当时，由得：，在上为减函数，如果在上为减函数，则在上为减函数，则：
，所以．       13分
综上所述，符合条件的a满足．