Question

（2012•江西模拟）关于x的方程x³-3x²-a=0有3个不同的实数解，则a的取值范围是

（-4，0）

．

Answer 1

分析：关于x的方程x³-3x²-a=0有3个不同的实数解?函数y=x³-3x²与y=a由三个不同的交点，利用导数先得出函数y=f（x）的单调性并画出图象，进而即可得出答案．

解答：解：由x³-3x²-a=0，得x³-3x²=a．
令f（x）=x³-3x²，解x³-3x²=0，得x₁=x₂=0，或x₃=3，即函数f（x）有一个零点3，和一个二重零点0．
又f^′（x）=3x²-6x=3x（x-2），令f^′（x）=0，则x=0或2．列表如下：
由表格可以看出：
函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增．
在x=0时取得极大值，且f（0）=0；在x=2时取得极小值，且f（2）=-4．
综上可画出函数y=f（x）的图象，如下图：
要使函数y=f（x）与y=a由三个不同的交点，则必须满足-4＜x＜0．
此时满足 关于x的方程x³-3x²-a=0有3个不同的实数解．
故答案为（-4，0）．

点评：把方程的解得问题转化问题函数的交点问题和熟练应用导数得到函数的单调性并画出图象是解题的关键．