Question

（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列
（i）当n=4时，求

a1

d

的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：存在一个各项及公差均不为零的n（n≥4）项等差数列，任意删去其中的k项（1≤k≤n-3），都不能使剩下的项（按原来的顺序）构成等比数列．

Answer 1

分析：（1）（i）当n=4时，数列的公差d≠0，删去的项只可能为a₂或a₃．分别讨论推出数列的情况，然后求解

a1

d

的值．
（ii）当n≥6时，从数列中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，数列的公差必为0，这与题设矛盾．推出数列的项数n≤5．然后讨论当n=4，n=5时，满足题设的数列项数即可．
（2）首先找出一个等差数列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首项b₁与公差d'的比值为无理数，则此等差数列满足题设要求．假设删去等差数列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）项后，新数列构成等比数列，说明新数列中的连续三项为不满足题意，然后推出首项b1=

2

+1，公差d^′=1．相应的等差数列

2

+1，

2

+2，

2

+3，…，

2

+n(n≥4)是一个满足题设要求的数列．

解答：解：首先证明一个“基本事实”
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d₀=0．
事实上，设这个数列中的连续三项a-d₀，a，a+d₀成等比数列，则a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得a2=a2-

d

2 0

，故d₀=0．
（1）（i）当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实“推知，删去的项只可能为a₂或a₃．
①若删去a₂，则由a₁，a₃，a₄成等比数列，得(a1+2d)2=a1•(a1+3d)．
因d≠0，故由上式得a₁=-4d，即

a1

d

=-4．此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设．
②若删去a₃，则a₁，a₂，a₄由成等比数列，得(a1+d)2=a1•(a1+3d)．
因d≠0，故由上式得a₁=d，即

a1

d

=1．此时数列为d，2d，3d，4d满足题设．
综上可知

a1

d

的值为-4或1．
（ii）当n≥6时，则从满足题设的数列a₁，a₂，a₃，…，a_n中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a₁，a₂，a₃，…，a_n的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数n≤5．
又因题设n≥4，故n=4或n=5．
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列．
当n=5时，若存在满足题设的数列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅则由“基本事实”知，删去的项只能是a₃，从a₁，a₂，a₄，a₅而成等比数列，故(a1+d)2=a1•(a1+3d)，
及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)．分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=-5d2，
故d=0．矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列．  综上可知，n只能为4．
（2）我们证明：若一个等差数列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首项b₁与公差d'的比值为无理数，
则此等差数列满足题设要求．
证明如下：
假设删去等差数列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）项后，
得到的新数列（按原来的顺序）构成等比数列，
设此新数列中的连续三项为b₁+m₁d'，b₁+m₂d'，b₁+m₃d'（0≤m₁＜m₂＜m₃≤n-1），于是有(b1+m2d′)2=(b1+m1d′)(b1+m3d′)，化简得(

m

2 2

-m1m3)d′2=(m1+m3-2m2)b1d′…（*）
由b1d′\not=0知，

m

2 2

-m1m3与m₁+m₃-2m₂同时为零或同时不为零．
若m₁+m₃-2m₂=0，且

m

2 2

-m1m3=0，则有(

m1+m3

2

)2-m1m3=0，
即(m1-m3)2=0，得m₁=m₃，从而m₁=m₂=m₃，矛盾．
因此，m₁+m₃-2m₂与

m

2 2

-m1m3都不为零，故由（*）式得

b1

d′

=

m 2 2 -m1m3

m1+m3-2m2

•…（**）
因为m₁，m₂，m₃均为非负整数，所以（**）式右边是有理数，
而

b1

d′

是一个无理数，所以（**）式不成立．这就证明了上述结果．
因

2

+1是一个无理数．因此，取首项b1=

2

+1，公差d^′=1．
则相应的等差数列

2

+1，

2

+2，

2

+3，…，

2

+n(n≥4)是一个满足题设要求的数列．

点评：本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．利用基本事实，反证法的应用，找出满足题意的一个数列是解题的难点也是关键点，本题属难题．