Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0．
（1）证明l经过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），显然过定点（-2，1）．
（2）先求出A和B 的坐标，代入三角形的面积公式进行化简，再利用基本不等式求出三角形面积的最小值，以及面积最小时直线的斜率，从而得到直线l的方程．
（3）由直线过定点（-2，1），可得，当斜率 k≥0时，直线不经过第四象限．

解答：解：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），
所以，直线l经过定点（-2，1）．
（2）由题意得A（

2k+1

-k

，0），B（0，2k+1），且

2k+1 -k ＜0 1+2k＞0

，故 k＞0，
△AOB的面积为S=

1

2

×

2k+1

k

×（2k+1）=

4k2+4k+1

2k

=2k+2+

1

2k

≥4，
当且仅当 k=

1

2

时等号成立，此时面积取最小值4，k=

1

2

，直线的方程是：x-2y+4=0．
（3）由直线过定点（-2，1），且直线不经过第四象限，
可得斜率 k＞0 或k=0，
故k的取值范围为[0，+∞）．

点评：本题考查直线过定点问题，基本不等式的应用，求直线方程的方法，属于中档题．