Question

二次函数y=ax²+ax+2（a＞0）在R上的最小值为f（a）
（1）写出函数f（a）的解析式；
（2）用定义证明函数f（a）的奇偶性；
（3）判断f（a）在[1，5]上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）配方后利用二次函数的性质可求得f（a）；
（2）根据f（a）的定义域不关于原点对称可作出奇偶性的判断；
（3）利用导数的符号可判断单调性；

解答：解：（1）y=ax²+ax+2=a(x+

1

2

)2+2-

1

4

a，
又a＞0，∴x=-

1

2

时，y=ax²+ax+2取得最小值，f（a）=2-

1

4

a，
故f（a）=2-

1

4

a（a＞0）；
（2）由（1）知，f（a）=2-

1

4

a（a＞0），
∵f（a）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，
∴f（a）为非奇非偶函数；
（3）f（a）在[1，5]上单调递减，证明如下：
设任意正数a₁，a₂，且a₁＜a₂，
f（a₁）-f（a₂）=（2-

1

4

a1）-（2-

1

4

a2）=

1

4

(a2-a1)，
∵0＜a₁＜a₂，∴

1

4

(a2-a1)＞0，
∴f（a₁）-f（a₂）＞0，即f（a₁）＞f（a₂），
∴f（a）在[1，5]上单调递减．

点评：本题考查二次函数的最值及函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．