Question

已知函数f(x)=

1

4

x4-m3x+

3

4

．
（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（2）当m＞0时，函数f（x）的图象与x轴有交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的单调区间，只需令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（2）要想使函数f（x）的图象与x轴有交点，只需函数的最小值小于0即可．利用导数求函数的最小值，先令导数等于0，得到极值点，再判断极值点两侧导数的正负，判断是极大值还是极小值，再比较极小值与端点函数值大小即可．本题中只有一个极小值，所以极小值也是最小值，再让最小值小于0即可．

解答：解：（1）f'（x）=x³-1，由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1．
故f（x）的单增区间为[1，+∞），单减区间为（-∞，1]．
（2）f'（x）=x³-m³∵m＞0．由f'（x）＞0得x＞m，由f'（x）＜0得x＜m．
∴f（x）在（-∞，m）上单减，在（m，+∞）上单增，故x=m时，f（x）_min=f（m）=-

3

4

m4+

3

4

，
要f（x）图象与x轴有交点，则-

3

4

m4+

3

4

≤0，解得m≥1．
故m∈[1，+∞）．

点评：本题主要考查了应用导数求函数的单调区间与最值的方法，属于导数的应用．