Question

过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=

3

2

|FB|，则椭圆的离心率等于（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  5

• C、

  1

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：首先作准线与x轴交点为M，过B准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E；再设|AB|=5t，易得|BF|=2t，|AF|=3t，结合直线的斜率，可得|AH|=

5

2

t，再根据图象，将|AH|用|AF|和|BF|表示，计算可得答案．

解答：解：作准线与x轴交点为M，过B准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=5t，因为|FA|=

3

2

|FB|，则|BF|=2t，|AF|=3t，
因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=

1

2

|AB|=

5

2

t，
|AH|=

3

e

t-

2

e

t=

1

e

t=

5

2

t，
所以e=

2

5

，
故选B．

点评：本题与直线的倾斜角的性质相结合考查椭圆的基本性质，注意将两者性质综合运用即可．