Question

已知函数f（x）=

12x

x2+1

，g（x）=

1

3

ax³-a²x（a＞0）
（1）求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（2）求函数y=g（x）的极大值和极小值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简；
（2）求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，代入函数求出极值．

解答：解：（1）令x=0，则切线的斜率k=f'（0）=12
∴切线方程为y=12x
（2）g'（x）=ax²-a²=a（x-

a

）（x+

a

）
∴y=g（x）在（-

a

，

a

）上为单调减函数，在（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）上为单调递增函数
∴x=-

a

，y=g（x）有极大值g（-

a

）=

2

3

a2

a

x=

a

，y=g（x）有极小值g（

a

）=-

2

3

a2

a

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．