Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0，f（x）＞0，
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）解不等式：f[log2(x+

1

x

+6)]+f(-3)≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，则f（0）=0，再由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₁）与f（x₂）的大小即可．
（3）根据奇函数把不等式变形，再根据单调性转化一元二次不等式组，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（0）=0，⇒f（-x）=-f（x），
且函数y=f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（2）f（x）为R上的单调增函数，设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁）
∴f（x）为R上的单调增函数
（3）由（1）知f（0）=0及f（x）在R上单调递增
∴原不等式等价于f[log2(x+

1

x

+6)+(-3)]≤f(0)
?log2(x+

1

x

+6)≤3?0＜x+

1

x

+6≤8
?

x＞0 x2+6x+1＞0 x2-2x+1≤0

或

x＜0 x2+6x+1＜0 x2-2x+1≥0

解得解集为{x|x=1或-3-2

2

＜x＜-3+2

2

}

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式．此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．