Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中点，∠BAD=60°，底面边长为2，若PB与平面ADD₁A₁成45°角，求点A₁到平面ACP的距离．

Answer 1

分析：取AD的中点为E，连接BE，PB，则BE⊥ADD₁A₁，则∠EPB为PB与平面ADD₁A₁所成的角．依题意可分别计算出BE，PB，PD，DD₁，进而以OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴建立空间直角坐标系，则A，C，P点可得，表示出

OA

和

PA

，设平面ACP的法向量

n

=（x，y，z），求得x，y和z，把

A1

A代入

A1A • n

n

中可求得d．

解答：解：取AD的中点为E，连接BE，PB，则BE⊥ADD₁A₁，
∠EPB为PB与平面ADD₁A₁所成的角．
经计算BE=

3

，PB=

6

，PD=

2

，DD₁=2

2

以OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴建立空间直角坐标系，
A（

3

，0，0），C（-

3

，0，0），P（0，-1，

2

），

OA

=（2

3

，0，0），

PA

=（

3

，1，-

2

），
设平面ACP的法向量

n

=（x，y，z），
由

AC • n =0 PA • n =0

得

n

=（0，

2

，1），
而

A1

A=（0，0，2

2

），所以d=

A1A • n

n

=

2 6

3

点评：本题主要考查了点，线面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的知识来解决问题．