Question

若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），由函数y=f^-1（x）确定数列{b_n}，bn=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若数列{b_n}是函数f（x）=确定数列{a_n}的反数列，试求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若函数f（x）=2确定数列{c_n}的反数列为{d_n}，求{d_n}的通项公式；
（3）对（2）题中的{d_n}，不等式log（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知f^-1（x）=2x-1，所以b_n=2n-1，由此能求出S_n．
（2）由f（x）=2，知，由此能求出{d_n}的通项公式．
（3）记+…+，得，故T_n+1-T_n=＞0，由此能求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴f^-1（x）=2x-1，
所以b_n=2n-1，
S_n=2（1+2+3+…+n）-n
=2×-n=n²．（4分）
（2）∵f（x）=2，∴，
所以d_n=．
（3）记+…+，
得，
T_n+1-T_n=＞0，
所以{T_n}递增，故（T_n）_min=T₁=1．
由已知得，，
解得0＜a＜，
∴实数a的取值范围是（0，）．
点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意反函数的合理运用，合理地进行等价转化．