Question

【题目】已知数列{an}的前n项和 ，其中n∈N* ． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列{bn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）若对于任意正整数n，都有 ，求实数λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣3；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）=2n﹣5，

因为a1=﹣3符合上式，

所以an=2n﹣5（n∈N*）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．

所以Tn=b1+b2+…+bn=（2﹣3+1）+（2﹣1+1）+…+（22n﹣5+1）

=（2﹣3+2﹣1+…+22n﹣5）+n

= = ．

（Ⅲ）

= = ，

当n=1时， ，（注：此时 ），

当n≥2时，因为 ，

所以 ．

则n=1时，取得最大值．

因为对于任意正整数n，都有 ，

由题意，得 ；

所以λ的最小值为 ．

【解析】（Ⅰ）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，计算即可得到所求通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；（Ⅲ）运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数λ的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．