Question

（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(

5

，0)与定直线l：x=

4

5

的距离之比是常数

5

2

．
（ I）求动点P的轨迹C及其方程；
（ II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．

Answer 1

分析：（ I）利用双曲线定义，可知到定点F(

5

，0)与定直线l：x=

4

5

的距离之比是常数

5

2

的点的轨迹为双曲线，在利用求双曲线方程的方法去解即可．
（ II）与双曲线C有且仅有一个公共点的直线有两种，一种是与双曲线相切，一种是平行渐近线，分两种情况考虑即可．

解答：解：（ I）∵

5

2

＞1，
∴轨迹C为以F为右焦点，l为右准线的双曲线．
设双曲线C方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则

c= 5 a2 c = 4 5

，
∴a²=4．
∴b²=c²-a²=5-4=1．
∴双曲线方程为

x2

4

-y2=1．
（Ⅱ）（1）若所求直线斜率不存在时，直线x=2满足题意．
（2）若所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入曲线方程

x2

4

-y2=1，得：

x2

4

-(kx-2k+1)2=1，
化简得：（1-4k²）x²+8k（2k-1）x-4（2k-1）²-4=0，
①当（1-4k²）=0时，即k=±

1

2

时，
∵（2，1）在渐近线y=

1

2

x上，∴k=

1

2

时不适合，舍去.k=-

1

2

时，直线平行于渐近线y=-

1

2

x，满足题意，
故所求直线方程为y=-

1

2

(x-2)+1，即y=-

1

2

x+2．
②当（1-4k²）≠0时，由△=64k²（2k-1）²-16（4k²-1）（4k²-4k+2）=0，
得k=

1

2

（舍去），综上所述，所求直线方程为x=2，y=-

1

2

x+2．

点评：本题考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，计算量较大，应认真计算．