Question

．已知，函数．
（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，
求实数的取值范围．

Answer 1

解：∵，∴.………………………1分
∵函数在区间内是减函数，∴在上恒成立．…………2分
即在上恒成立，……………………………………………………3分
，∴．
故实数的取值范围为．………………………………………………4分
（2）解：∵，令得．………………5分
①若，则当时，，所以在区间上是增函数，
所以．………………………………………………6分
②若，即，则当时，，所以在区间上是增函数，
所以．……………………………………………7分
③若，即，则当时，；当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以．………………………………………8分
④若，即，则当时，，所以在区间上是减函数．
所以．……………………………………………9分
综上所述，函数在区间的最小值……………10分
（3）解：由题意有两个不相等的实数解，
即（2）中函数的图像与直线有两个
不同的交点．…………………………………………………………11分
而直线恒过定点，
由右图知实数的取值范围是．…………………………14分

解析