Question

【题目】设函数f（x）= ，关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，e﹣ ）
B.（e﹣ ，+∞）
C.（0，e）
D.（1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f′（x）= ， ∴当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴fmax（x）=f（e）= ．
作出f（x）的大致函数图象如下：

由图象可知当0＜k 时，f（x）=k有两解，
当k≤0或k= 时，f（x）=k有一解，当k 时，f（x）=k无解．
令g（x）=x2+mx﹣1，则g（f（x））有三个零点，
∴g（x）在（0， ）上有一个零点，在（﹣∞，0]∪{ }上有一个零点．
∵g（x）的图象开口向上，且g（0）=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上必有一个零点，
∴g（ ）＞0，即 ，
解得m＞e﹣ ．
故选B．
求出f（x）的单调性和极值，判断方程f（x）=k的根的情况，令g（x）=x2+mx﹣1，根据f（x）=k的根的情况得出g（x）的零点分布情况，利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围．