Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个边长为1的正方体，过顶点A作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是

(1，

2

]

．

Answer 1

分析：如图所示，设过顶点A作正方体的截面AEFG与底面ABCD所成的角为θ，利用关系式：

S 底面ABCD

S 截面AEFG

=cosθ，得出S_截面AEFG＞1又当截面AEFG是正方体的对角面AB₁C₁D时，其面积最大，最大为

2

，从而得到截面面积的取值范围．

解答：解；如图所示，
设过顶点A作正方体的截面AEFG与底面ABCD所成的角为θ，
则有：

S 底面ABCD

S 截面AEFG

=cosθ，
∴S_截面AEFG=

S 底面ABCD

cosθ

＞1，
又当截面AEFG是正方体的对角面AB₁C₁D时，其面积最大，最大为

2

，
则截面面积的取值范围是 (1，

2

]．
故答案为：(1，

2

]．

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、正方体的结构特征的应用、正方体的截面等基础知识，考查空间想象能力．属于基础题．