Question

（本小题满分14分）如图5，正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．
（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）在线段BC上存在点P使AP⊥DE。此时，.

本试题主要是考查了立体几何中线面的位置关系，以及二面角的求解，以及线线垂直的综合运用。
（1）在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF
（2）建立空间直角坐标系，得到发向量，运用法向量的夹角的都二面角的平面角的求解。
（3）设
得到点P的值。
（1）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．         …………3分
法一：（2）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.…………4分
平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，
则
 即，               …………6分
，所以二面角E—DF—C的余弦值为；…8分
（3）设，
又，
。    …………10分
把，
所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE。此时，.       …………12分