Question

【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中，为边长等于的正方形，△和△均为正三角形，在三棱锥中，

（1）求证：；

（2）求与平面所成的角的大小；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取的中点，连，，通过证明平面，可以得到；

（2）根据题意可以证明平面，从而可知就是与平面所成的角；容易计算得到其大小；

（3）取的中点，连，，易证得就是二面角的平面角，然后在直角三角形中求得结果即可.

（1）证明：取的中点，连，，如图：

根据展开图可知，，，所以，，

又，所以平面，

因为平面，所以

（2）根据展开图可知，且，

所以，又，所以，

所以平面，所以就是与平面所成的角，

且，

所以与平面所成的角的大小为.

（3）取的中点，连，，如图：

由（2）可知，由（1）知，且，

所以平面，所以，

根据等腰三角形的性质易得，又，所以平面，

所以，所以就是二面角的平面角，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

由题知二面角为锐角，所以.