在平面直角坐标系xoy中.已知三点O.曲线C上任意-点M(x.y)满足:．(l)求曲线C的方程,(2)设点P是曲线C上的任意一点.过原点的直线L与曲线相交于M.N两点.若直线PM.PN的斜率都存在.并记为kPM.kPN．试探究kPM•kPN的值是否与点P及直线L有关.并证明你的结论,(3)设曲线C与y轴交于D.E两点.点M (0.m)在线段DE上.点P在曲线C上运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：

．
（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN．试探究k_PM•k_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，

取得最小值，求实数m的取值范围．

【答案】分析：（1）算出向量

的坐标，从而得到

关于x、y的表达式，代入题中等式并化简，即得：

，即为所求曲线C的方程．
（2）设P（x，y），M（x，y），N（-x，-y），将M、N坐标分别代入（1）中求出的椭圆方程，再作差化简整理，可得

．由此化简k_PM•k_PN，得k_PM•k_PN的值恒等于-

，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）将P（x，y）代入椭圆方程，可得x²=3-

y²且-2≤y≤2，由此化简得|

．因为当点P的坐标为（0，2）时

取得最小，所以结合二次函数的性质得4m≥2，解之得

．最后结合-2≤y≤2，即可得到实数m的取值范围．
解答：解：（1）由题意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴

，
由此可得，

，
又∵

，且

，
∴

，
化简整理得：

，即为所求曲线C的方程．
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x，y），N（-x，-y）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴

，…①．

，…②
①-②，得

．
又∵

，

，
∴

，
因此，k_PM•k_PN的值恒等于-

，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）由于P（x，y）在椭圆C：

上运动，可得x²=3-

y²且-2≤y≤2
∵

=（x，y-m），
∴|

由题意，点P的坐标为（0，2）时，

取得最小值，
即当y=2时，

取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得

．
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴

，实数m的取值范围是

．
点评：本题给出曲线C上的动点满足的向量等式，求曲线C的方程并讨论斜率之积为定值的问题，着重考查了轨迹方程的求法、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆位置关系和向量的数量积运算等知识，属于中档题．

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