Question

（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）

平面直角坐标系中，已知，…，是直线上的个点（，、均为非零常数）.

（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；

（2）若点是直线上一点，且，求的值；

（3）若点满足，我们称是向量，，…，的线性组合,是该线性组合的系数数列.

当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：

① 系数数列需满足怎样的条件，点会落在直线上？

② 若点落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？

③ 能否根据你给出的系数数列满足的条件，确定在直线上的点的个数或坐标？

试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】

Answer 1

（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）

解：（1）证：设等差数列的公差为,

因为，

所以为定值，即数列也成等差数列.

（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()

于是，

令，，则有.

（3）（文科）假设存在点满足要求,

则有，

又当时，恒有，则又有

，

所以

又因为数列成等差数列，

于是，

所以，

故，同理，且点在直线上（是、的中点），即存在点满足要求.

（3）（理科）

提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.

证明：设，由条件，

    先证充分性：“当时，点在直线上”.

因为，

故

而（），所以

 

 

当时，即有，即点在直线上.

再证必要性：“若点在直线上，则.”

因为，

故

而因为（），所以

 

 

    又因为点在直线上，所以满足，故.

补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，若满足，则都有.