Question

证明下列不等式：
（1）对任意的正实数a，b，有

1

1+a

≥

1

1+b

-

a-b

(1+b)2

；
（2）

C

0 n

•

50

50+1

+

C

1 n

•

51

51+1

+

C

2 n

•

52

52+1

+…+

C

n n

•

5n

5n+1

≥

2n•5n

3n+5n

，n∈N．

Answer 1

分析：（1）利用作差法证明即可；
（2）令a=

1

5k

，可知

1

1+ 1 5k

≥

1

1+b

-

1 5k -b

(1+b)2

（k=0，1，2，…，n）⇒

n

k=0

C

k n

•

1

1+ 1 5k

≥

n

k=0

C

k n

•

1

1+b

-

n

k=0

1 5k -b

(1+b)2

，利用组合数的性质可证得右端=

2n

1+b

-

1

(1+b)2

[(1+

1

5

)n-b•2ⁿ]，再令b=(

3

5

)n，可证左端

n

k=0

C

k n

•

1

1+ 1 5k

≥

2n

1+ 3n 5n

-

1

(1+ 3n 5n )2

[(1+

1

5

)n-(

6

5

)n]=

2n

1+ 3n 5n

=

2n•5n

5n+3n

，从而可使结论得证．

解答：证明：（1）∵

1

1+a

-

1

1+b

+

a-b

(1+b)2

=

b-a

(1+a)(1+b)

+

a-b

(1+b)2

=

(b-a)2

(1+a)(1+b)2

，
∵a＞0，b＞0，
∴

(b-a)2

(1+a)(1+b)2

≥0，
故

1

1+a

≥

1

1+b

-

a-b

(1+b)2

；
（2）令a=

1

5k

，k=0，1，2，…，n．由（1）得：

1

1+ 1 5k

≥

1

1+b

-

1 5k -b

(1+b)2

，k=0，1，2，…，n
∴

C

k n

•

1

1+ 1 5k

≥

C

k n

•

1

1+b

-

C

k n

•

1 5k -b

(1+b)2

，k=0，1，2，…，n
∴

n

k=0

C

k n

•

1

1+ 1 5k

≥

n

k=0

C

k n

•

1

1+b

-

n

k=0

1 5k -b

(1+b)2

=

1

1+b

n

k=0

C

k n

-

1

(1+b)2

n

k=0

C

k n

（

1

5k

-b）
=

2n

1+b

-

1

(1+b)2

（

n

k=0

C

k n

•

1

5k

-b

n

k=0

C

k n

）
=

2n

1+b

-

1

(1+b)2

[(1+

1

5

)n-b•2ⁿ]，
令b=(

3

5

)n，
则

n

k=0

C

k n

•

1

1+ 1 5k

≥

2n

1+ 3n 5n

-

1

(1+ 3n 5n )2

[(1+

1

5

)n-(

6

5

)n]=

2n

1+ 3n 5n

=

2n•5n

5n+3n

，
即

C

0 n

•

50

50+1

+

C

1 n

•

51

51+1

+

C

2 n

•

52

52+1

+…+

C

n n

•

5n

5n+1

≥

2n•5n

3n+5n

，n∈N．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查等价转化思想与抽象思维、逻辑推理能力，属于难题．