Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（Ⅱ）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围，可得到两根之和、两根之积，设直线MA，MB斜率分别为k₁和k₂，化简k₁+k₂ 的结果等于0，即说明MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，因为e=

3

2

，所以a²=4b²，又椭圆过点M（4，1），所以

16

a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20，故椭圆方程为

x2

20

+

y2

5

=1（5分）
（2）将y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，△=（8m）²-20（4m²-20）＞0得：5＞m＞-5．
设直线MA，MB斜率分别为k₁和k₂，只要证k₁+k₂=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2 =-

8m

5

，x1x2=

4m-20

5

k1+k2=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，体现了等价转化的数学思想．