Question

有以下4个结论：①若sinα+cosα=1，那么sinⁿα+cosⁿα=1； ②x=

1

8

π是函数y=sin (2x+

5

4

π)的一条对称轴； ③y=cosx，x∈R在第四象限是增函数； ④函数y=sin (

3

2

π+x)是偶函数；  其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：分别对四个命题进行判断，对于①sinα+cosα=1结合性质|sinα|≤1，|cosα|≤1易得结论；②可以把x=

1

8

π代入函数验证解得；解③的方法就是取特值，举反例求解； ④函数y=sin (

3

2

π+x)可以化简为函数y═-cosx，可作出判断．

解答：解：对于①由sinα+cosα=1知，

sinα=1 cosα=0

或

cosα=1 sinα=0

，从而有sinⁿα+cosⁿα=1；故①的结论正确；
 ②验证当x=

1

8

π时，函数y=sin (2x+

5

4

π)=sin (2×

π

8

+

5

4

π)=sin

3π

2

=- 1，所以x=

1

8

π是函数y=sin (2x+

5

4

π)的一条对称轴，②的结论正确；
 ③举反例如：设x₁=-

π

4

，x₂=

7π

4

均是第四象限的角，且x₁＜x₂，但是cosx₁=cosx₂=

2

2

所以y=cosx，x∈R在第四象限是增函数，此结论错误；
 ④函数y=sin (

3

2

π+x)=-cosx，显然这是一个偶函数，结论正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的概念，真假命题的判断，综合考查了三角函数的内容；分命题涉及三角函数求值，正余弦函数的性质，如单调性，奇偶性，对称性等内容．这类命题与多种相关知识的综合考查是近年来高考的命题趋向，对相关知识的基本概念的把握要求较高．