Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=2an﹣2；数列{bn}的前n项和为Tn ， 且满足b1=1，b2=2， ．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得 恰为数列{bn}中的一项？若存在，求所有满足要求的bn；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn=2an﹣2，则当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

两式相减得：an=2an﹣2an﹣1，则an=2an﹣1，

由S1=2a1﹣2，则a1=2，

∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=2n，

由 ．

则 = ， = ， = ，， = ． =

以上各式相乘， = ，则2Tn=bnbn+1，

当n≥2时，2Tn﹣1=bn﹣1bn，两式相减得：2bn=bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1=2，

∴数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，

由 = ，则b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，

∴数列{bn}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，

∴数列{bn}的通项公式bn=n；

（2）当n=1时， 无意义，

设cn= = ，（n≥2，n∈N*），

则cn+1﹣cn= ﹣ = ＜0，

即cn＞cn+1＞1，

显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2=7＞c3=3＞c4＞＞1，

∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，

下面证明不存在c2=2，否则，cn= =2，即2n=3（n+1），

此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，

综上，满足要求的bn为b3，b7．

【解析】（1）当n≥2时，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，由an=Sn-Sn-1可得an=2an﹣2an﹣1，则数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=2n由=,使用累乘法可得到2Tn=bnbn+1，由bn=Tn-Tn-1可得bn+1﹣bn﹣1=2，数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，数列{bn}的通项公式bn=n，（2）设cn= ,作差比较大小，cn＞cn+1＞1，根据数列的单调性，即可求得存在存在n=2，使得b7=c2，b3=c3.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．