Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），n=1，2，…
（1）证明：数列{ Sn}是等差数列，并求Sn；
（2）设bn= ，求证：b1+b2+…+bn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1= ，Sn=n2an﹣n（n﹣1），

∴n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1，

∴Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），

∴（n2﹣1）Sn=n2Sn﹣1+n（n﹣1），

∴ = +1，

∴ = +1，

又 = =1，

∴数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴ =1+（n﹣1）×1=n，

∴Sn=n× =

（2）证明：bn= = = = ，

∴b1+b2+…+bn= （ ）

=

=

= ．

∴b1+b2+…+bn＜

【解析】（1）由已知条件得Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n（n﹣1），从而 = +1，由此能证明数列{ Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到Sn=n× = ．（2）由bn= = = = ，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+bn＜ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．