Question

【题目】已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】如图，

由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，

可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC中点，

则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，

∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．

则AG=CG=，

过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,

再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,

∴y=， ,

令f（x）=，则f′（x）=

由f′（x）=0，可得x=，

∴当x=时，f（x）max=，

∴△ABD面积的最大值为,

则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是

故答案为：B.