Question

【题目】以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为．

（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）设点极坐标分别为,，由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；

（2）设点对应的参数分别为，则，，将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得，，则，求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.

（1）设点极坐标分别为，，

因为,则，

所以曲线的极坐标方程为，

两边同乘,得，

所以的直角坐标方程为,即.

（2）设点对应的参数分别为，则,，将直线的参数方程（参数），代入的直角坐标方程中，整理得.

由韦达定理得，，

所以，当且仅当时，等号成立，则，

所以当取得最小值时，直线的普通方程为.