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设数列{b_n}{P_n}满足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+ $数学公式$ （n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C_n=（b_n- $数学公式$ ）• $数学公式$ +n成等差数列，记数列{C_n•（ $数学公式$ ）^C_n}的前n项和为Tn，证明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）设A_n= $数学公式$ T_n，数列{A_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ ，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
上述两式错位相减得： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴当且仅当t=0时，数列C_n成等差数列，此时C_n=n（n∈N⁺）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
错位相减得： $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴3ⁿ（T_n-1）＜b_n
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 可得
S_n=A₁+A₂+A₃+…+A_n
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）由P_n+1=P_n+ $\text{[math]}$ （n∈N^*），利用叠加法得P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）= $\text{[math]}$ ，从而有 $\text{[math]}$ ，上述两式错位相减，可得 $\text{[math]}$ ，从而求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由题意得， $\text{[math]}$ ，再使用错位相减法求得 $\text{[math]}$ ，从而可以证明；
（3）将A_n= $\text{[math]}$ T_n，化简，再进行分组可得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，进而分别求和，利用放缩法可以证得．
点评：本题主要考查叠加法求数列的通项，考查错位相减求数列的和，数列与不等式的综合，有一定难度．

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