Question

设函数，其中mÎ R，集合M={m|m＞1}．

(1)求证：当mÎ M时，f(x)对所有实数x都有意义；反之，如果f(x)对所有实数x都有意义，那么mÎ M．

(2)当mÎ M时，求函数f(x)的最小值．

(3)求证：对每一个mÎ M，函数f(x)的最小值都不小于1．

Answer 1

答案：略
解析：

本题中所给函数是二次函数和对数函数的复合函数，因此在解答过程中应注意二次函数与对数函数性质的应用． (1)证明：当mÎ M时，有m＞1，从而对所有实数x，都有：． ∴当mÎ M时，函数对所有的实数x都有意义． 反之，如果f(x)对所有实数x都有意义，则需对所有实数x，恒大于0， ∵， ∴应使，即． 由于，又必须m－1＞0，即m＞1． 从而mÎ M． (2)∵在(0，＋∞)上是增函数，由(1)可知，当mÎ M时，， ∴． 又当x=2m时，． ∴当mÎ M时，f(x)的最小值为． (3)当mÎ M时，有m＞1，∴m－1＞0． 此时，且在m=2时，取“=”号． ∴．∴， 即对于每一个mÎ M，函数f(x)的最小值都不小于1． 在解答第(1)问的过程中，两次使用配方法，即和．在解答第(3)问时，也用了配方法，即．用配方法是解决二次函数问题的重要手段．