给出下列命题:①若椭圆x225+y216=1的左右焦点分别为F1.F2.动点P满足|PF1|+|PF2|＞6.则动点P不一定在该椭圆外部,②以抛物线y2=2px的焦点为圆心.以p2为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点,③双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点,④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1．其中真命题的序号为①③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

给出下列命题：
①若椭圆

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以

为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点；
③双曲线

=1与椭圆

+y2=1有相同的焦点；
④抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1．
其中真命题的序号为

①③④

．（写出所有真命题的序号）

分析：①利用椭圆的定义，可得椭圆上的点P′满足|P′F₁|+|P′F₂|=10，故可判断；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以

为半径的圆的方程为(x-

)2+y2=

，与抛物线y²=2px联立，即可求得交点的个数；
③分别求出双曲线、椭圆的焦点坐标，即可判断；
④求出抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值，即可得结论．

解答：解：①椭圆

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，∴椭圆上的点P′满足|P′F₁|+|P′F₂|=10，∴动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部，故①为真命题；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以

为半径的圆的方程为(x-

)2+y2=

，将抛物线y²=2px代入，并化简可得：x²+px=0，∵x≥0，p＞0，∴x=0，∴以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以

为半径的圆与该抛物线有1个公共点，故②为假命题；
③双曲线

=1的焦点为（±

，0），椭圆

+y2=1的焦点为（±

，0），因此双曲线

=1与椭圆

+y2=1有相同的焦点，故③为真命题；
④设抛物线y²=4x上动点P（x，y），则P到其焦点的距离为

(x-1)2+y2

(x-1)2+4x

(x+1)2

∵x≥0，∴P到其焦点的距离为x+1，∴x+1≥1，∴抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1，故④为真命题
故真命题为①③④
故答案为：①③④

点评：本题重点考查圆锥曲线的性质，考查圆锥曲线的综合，解题时，需要利用性质一一进行判断．

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