Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
（3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x₁＜x₂≤1，求证：f（x₁）≤f（x₂）．

Answer 1

分析：（1）直接取x₁=x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（2）因为g（x）=2^x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1，所以只须证其满足条件③即可，因为有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2 x2-1)]=(2x1-1)(2 x2-1)≥0．故成立．
（3）由0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得结论成立．

解答：解：（1）取x₁=x₂=0
得f（0）≥f（0）+f（0），
又由f（0）≥0，得f（0）=0
（2）解：显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足①g（x）≥0；②g（1）=1
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2 x2-1)]=(2x1-1)(2 x2-1)≥0．
故g（x）=2^x-1满足条件①﹑②﹑③
所以g（x）=2^x-1为友谊函数．
（3）解：因为0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．

点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．